【亚博全站】 “截长补短法”在一类几

浏览: 119次 来源:网络整理 作者:佚名

2021-03-21 07:02:32

“截长补短法”在一类几何证明题中的运用探究线段的和、差、倍、分是平面几何中常见的问题,“截长补短法”是解 决这一类问题的一种常用的特殊技巧四川快乐12亚博APP安全有保障 ,“截长”就是将题中的某条线段截成题中的 几条线段之和;“补短”就是将题中某条线段延长(补上某线段),然后,证明它 与题中某条线段相等。 的内接等腰三角形,点P为弧BC 上一动点, 求证:PA=PB+PC。 分析:直接证明PA=PB+PC,困难较大。可用截长法:在PA上截取PD=PB, 再证明PC=DA 即可(或用补短法:在BP 或CP 上各补上与CP 或BP 相等的 线段,再证明PA 与这条线段相等)。 证明(截长法):在PA 上截取PD=PB,连接BD, 的内接等腰三角形,BA=BC,ABC=ACB=60。 BPA=BCA,BPA=60。 BPD是等边三角形。 PA=PB+PC。证明(补短法):延长BP ABC是圆内接等腰三角形, AC=BC,ABC=ACB=60。 BPA=60=APC。CPD=60。 CPD是等边三角形。 CD=CPDCP=60。 ACP=BCD。 ACPBCD。PA=BA。 BD=PD+BP亚博APP安全有保障 ,PA=PB+PC。 的内接正方形,点P为弧BC 上一动点亚博APP安全有保障 , 求证:PA=PC+PB。

分析一:要证明PA=PC+PB,我们可以在PA 上取AD=PC,连接BD, 再想办法证明PD=PB,问题可以解决。 证明:在AP 上截取AE=PC亚博APP安全有保障 ,连接BE。 四边形ABCD是圆内接正方形, AB=CB,BPA=45。 BAP=BCP,ABECBP, PE=PB。又PA=PE+AE, PA=PC+PB。说明:上面的方式是用截长法来完成证明的,当然我们也可以过B BP交PA 于点E,直接构造等边PBE,达到证明PE=PB 的目的,再想办 法去证明AE=PC,问题因而解决。(证明略) 分析二:本题我们也可以用补短法来证明,我们可以延长CP 并过B BEBP交CP 的延长线于点E。可以证明PBE 为等边三角形,得到PE=PB, 再想办法证明ABPCBE,得到PA=EC截长补短法证明题,可以完成证明。 证明:延长CP 并过点B 作BEBP 交CP 的延长线于点E。 四边形ABCD是圆内接正方形, AB=CB BPA=45ABC= APC=90。 PE=PB,又ABP=CBE亚博APP安全有保障 , PA=PC+PB。说明:通过上面两道例题的剖析和证明,我们的确感受到对用“截长补短法” 来解决问题的方便性截长补短法证明题,用这些方式来解决问题的益处很明显,思考下述问题的解 题思路。

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已知:六边形ABCD 的内接正多边形,点P为弧BC 上一动点,请 探究PA、PB、PC 者之间有何数目关系,并给与证明。 分析:如果我们模仿后面问题的解法,可以在AP 上截取AG=PC,连接 BG,可以发觉ABGCBP四川快乐12 ,从而得到BG=BP,又由于BPG=30,所以 BGP=30,在BGP 中可以得到PG=PB,从而得到PA=PC+PB 的推论。 当然我们也可以延长CP 到G,使CG=AP,连接BG,可以发觉ABPCBG,从而得到BG=BP四川快乐12 ,又由于BPC=150,所以BPG=30,在BGP 中可以得 到PG=PB,从而得到PA=PC+PB。 上面三道例题都是有关圆的内接正六边形问题,在解决这类问题的过程中 都用到了“截长补短”的方式,利用此法可以让证明思路清晰,往往给我们留下“柳 暗花明又一村”的觉得

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